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Fonctions et analyse

Publié par Julien Fernandez le Friday, October 28, 2011

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Le  Friday, October 28, 2011

Optimisation d'une longueur

Expérimenter, conjecturer, démontrer pour optimiser une situation.

  • On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d’une maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluies pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.

    Opti1On donne ci-dessous le plan de cette façade ainsi que quelques dimensions, exprimées en mètre.

    Opti2

    Sur ce plan :
    — `[AM]` ` ` et `[BM]` représentent les deux premiers tuyaux,
    — `[MH]` représente le troisième tuyau,
    — `(MH)` est la médiatrice de `[DC]`.

    On souhaite trouver la position du point `M` sur la façade de cette maison qui permet de minimiser la longueur des tuyaux à acheter et donc la dépense à effectuer.

    1e étape : Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique

    Opti3

    2e étape : Utilisation d’une ressource en ligne avec Géogébra

    http://www.univ-orleans.fr/irem/ecu...

    Opti4

    Conditions de mise en oeuvre

     

    Public : 1eS, Terminale S.


    Objectifs

    • Mathématiques

    — Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d’optimisation.
    — Émettre une conjecture en croisant des informations variées : observation d’une figure dynamique, données numériques et graphiques.
    — Élaborer une stratégie permettant de déterminer l’extremum d’une fonction.

    • Informatiques

    — Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique

    — Le cas échéant, traduire, à l’aide de Géogébra et d’une ressource en ligne, une situation géométrique par un graphique.


    Déroulement de l’activité

    • Pour l’expérimentation et la conjecture

    — En groupe en salle informatique, un ou deux élèves par poste.
    — La construction de la figure sur un logiciel de géométrie dynamique permet de conjecturer la solution.

    • Pour la démonstration

    — En classe entière.
    — Mise en place d’une stratégie de démonstration selon le scénario ou le prolongement du scénario opéré.


    Démonstrations & prolongements possibles

    •  À l’aide d’une fonction trigonométrique en Terminale S 

    — On note `Q` le projeté orthogonal de `M` sur `(BC)` et on prend comme variable la mesure en radian de l’angle aigu `\hat{BMQ} =theta `.
    — On définit la fonction `f : theta|->f(theta) = 2MA+MH` sur l’intervalle  `]0;pi/2[`.
    — On conjecture `theta~~0,52`.
    — L’utilisation conjuguée de Géogébra et de la ressource en ligne permet de visualiser et de conjecturer le sens des variations de `f`.

    Opti4— On détermine l’expression puis on étudie les variations de `f`.

     

    • À l’aide d’une fonction composée en Terminale S

    — On note `Q` le projeté orthogonal de `M` sur `(BC)` et on prend comme variable `x=MA=MB`.
    — On définit la fonction `g:x|->g(x)=2MA+MH` sur l’intervalle `]5;sqrt(61)[`.
    — On conjecture `x~~5,77`.
    — L’utilisation conjuguée de Géogébra et de la ressource en ligne permet de visualiser et de conjecturer le sens des variations de `g`.

    Opti5— On détermine l’expression puis on étudie les variations de `g`.


    Liens avec les compétences du B2i

    Attention, les items validables sont donnés à titre indicatif et dépendent beaucoup du scénario envisagé

    Domaine

    Compétence

    Items

    D1. S’approprier un environnement informatique de travail Etre autonome dans l’usage des services et des outils L.1.1. Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins
    D3. Créer, produire, traiter, exploiter des données Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté
    Exploiter des données ou des documents numériques Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée     		L.3.5 Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique
    L.3.6 Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat
    D4. S’informer, se documenterChoisir et consulter des ressourcesL.4.1 Je sais interroger les bases documentaires à ma disposition

    Fichiers utiles