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Fonctions et analyse

Publié par Jerome Borel le Friday, September 16, 2011

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Le  Friday, September 16, 2011

Raisonnement par récurrence

Des phénomènes discrets : expérimenter, observer, conjecturer, démontrer.

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    Présentation de l’activité

    Il s’agit d’introduire expérimentalement le principe du raisonnement par récurrence… par un coloriage de carte : expérimenter en mathématiques ne nécessite pas forcément un matériel sophistiqué !

     

    Public

    Terminales S – Terminales ES (spécialité) – Terminales L spécialité.

     

    Objectifs

    La compréhension du principe de la récurrence : initialisation et hérédité.

     

    Pré-requis

    Simplement le matériel suivant : feuille blanche , règle et deux crayons de couleur…

     

    Déroulement de l’activité

    Il s’agit de réaliser, sous certaines conditions, le coloriage d’une carte représentée par un rectangle (mais ceci n’est guère important) partagé par des droites et de se poser la question : ce coloriage est–il toujours possible ?

    On voit ici émerger le principe de récurrence, puisque apparaît le principe du coloriage le plus simple (on initialise) au plus complexe (ici on travaillera sur l’hérédité).

    L’activité peut être menée en classe entière ou en demi-groupes.

    Trace écrite attendue : carte fournie (fiche élève) coloriée, compte rendu structuré de recherche.

    Voir la fiche professeur pour les détails.

     

    Fichiers utiles

    On trouvera la fiche professeur qui reprend et complète cette description, et contient en annexe la fiche élève.

     

    Prolongements

    · En T°ES spé ce problème peut être envisagé comme un problème de graphe : en effet, on peut considérer la capitale de chaque pays (une case sur la carte), la relier au pays voisin, et se poser la question suivante : les extrémités des arêtes de ce graphe peuvent-elles pour l’une être coloriée en rouge et l’autre en vert (notion de graphe biparti) ?

    · Ce problème porte le nom de théorème des deux couleurs. Avec quel autre type de tracé ce théorème reste-t-il valable (ligne brisée, par exemple, c’est non !!) ?