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Fonctions et analyse

Publié par Jerome Borel le Thursday, September 15, 2011

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Le  Thursday, September 15, 2011

Optimisation de l’aire d’un triangle lié à un cercle

Maximum d’une aire : expérimenter, modéliser.

  • Figure du problème

     

    Présentation de l’activité

    On considère la figure ci-dessus.



    On a : OO’ = 14 cm ; C : cercle de centre O et de rayon 4 cm ;

    A point variable sur C et B symétrique de A par rapport à (OO’).

    Où placer le point A pour que l’aire du triangle ABO’ soit maximale ?

     

    Public

    Cette activité peut être proposée en 2de ou 1res et Terminales S et STI avec des objectifs différents. Nous présentons deux scénarios, l’un pour une classe de 2de, l’autre pour une classe de 1re S.

     

    Objectifs

    En 2de, les objectifs principaux sont motiver le calcul algébrique, faire une étude qualitative d’une fonction, réinvestir des savoir-faire sur calculatrice (ou tableur grapheur).

    En 1re S, deux objectifs principaux sont visés : l’entraînement à la modélisation avec notamment le choix d’un paramétrage à effectuer (repérage cartésien ou polaire) et le calcul algébrique lié à la dérivation.

     

    Pré-requis

    Mathématiques

    Pour l’utilisation en classe de 2de

    Pré-requis de base qui seront nécessaires : théorème de Pythagore, aire d’un triangle, repérage d’un point dans le plan.

    Pré-requis du programme de l’année : notion de fonction, extremum.

    Pour l’utilisation en classe de 1re S

    dérivation, trinôme du second degré et repérage polaire.

    T.I.C.E.

    Savoir créer une table de valeurs à l’aide de la calculatrice ou d’un tableur ; savoir tracer une courbe à l’aide de la calculatrice ou d’un traceur.

     

    Déroulement de l’activité

    En 2de, nous avons testé un scénario où les élèves travaillent par groupe de trois et cherchent en autonomie. L’énoncé a été fourni sans figure, et il n’a pas été utilisé de fichier réalisé avec un logiciel de géométrie dynamique pour présenter la situation aux élèves : cela semble ici préjudiciable à l’expérimentation, qui est essentiellement une expérimentation numérique liée à des positions particulières du point A. C’est en voulant approfondir ce type d’expérimentation que l’élève peut comprendre la nécessité d’une modélisation algébrique.

    En classe de 1re S, nous avons testé cette situation durant une séance de T.D. d’une heure. Le scénario utilise un ordinateur avec un logiciel de géométrie dynamique, et un vidéo-projecteur (un tableau blanc interactif est idéal…) dans le but de faire comprendre rapidement que l’aire, variable, doit être modélisée par une fonction, outil mis en place en 2de…

     

    Prolongements possibles

    En changeant le rapport entre OO’ et le rayon du cercle (il est ici de 7/2) on peut obtenir une aire maximale pour une abscisse non entière de A. La manipulation pour obtenir de "bonnes" approximations (abscisse de A et aire maximale) demande une meilleure maîtrise de l’outil utilisé et peut alors être demandée aux élèves qui ont terminé avant les autres ou à toute la classe en devoir à la maison.

    On peut aussi se placer dans l’espace, remplacer le cercle par une sphère et chercher une optimisation du volume du cône.

    Une fois la modélisation réalisée, on arrive à un exercice de calcul de dérivée d’un produit et résolution d’une équation du second degré.

     

    Fichiers utiles

    On trouvera la fiche professeur qui reprend et détaille cette présentation et contient en annexes les fiches-élève 2de et 1re S (très simples !) et les compte-rendus d’expérimentation.

    Le dossier zippé contient une figure réalisée au moyen de Geogebra et un document d’aide à son utilisation.