Introduction

L'astronomie est aussi ancienne que l'humanité. Elle a été purement observationnelle et descriptive pendant très longtemps. L'étude du ciel a toujours été abordée sur les plans scientifique et philosophique, le plus souvent intimement mêlés.

Comment ça tourne ?

Jusqu'au XIXème siècle, seuls les mouvements des planètes étaient considérés et étudiés : définition du calendrier et mesure du temps, mesure des positions...

Cet aspect a connu son couronnement avec la mécanique céleste, dont les heures de gloire se situent dans la seconde moitié du XIXème siècle avec la découverte de Neptune, et la théorie de la Lune.

Comment ça marche ?

L'introduction de la physique en astronomie est récente. Elle est nécessaire pour comprendre "comment ça marche", mais elle nécessite de fortes connaissances sur la Nature, dont l'acquisition est récente.

Elle explique le fonctionnement des astres : étoiles, explosions d'étoiles, objets plus extraordinaires encore...

La physique étant elle-même très consommatrice de mathématiques, il ne faudra pas s'étonner que celles-ci apparaissent indirectement dans toute l'astrophysique.

La Mécanique Quantique a fait son entrée en astronomie pour expliquer la destinée des étoiles lorsque leur hydrogène est épuisé. Une naine blanche est un objet quantique macroscopique. Et cette mécanique-là fait grand usage de probabilités et d'algèbre linéaire, dont le calcul matriciel est un aspect.

• Où ça se passe ?
• Qu'est-ce que l'espace ?
• Qu'est-ce que le vide ?
• Qu'est-ce que la matière ?

L'étude de l'Univers dans son ensemble, envisagée dès le XIXème siècle, a pris toute sa force avec la Relativité Générale au début du XXème siècle. Elle a introduit les géométries non euclidiennes. Depuis, les recherches en cosmologie portent sur des théories à la fois relativistes et quantiques. Il faut maintenant contruire une théorie qui unisse les principes relativiste et quantique.

Comment ça se fait ?

Chaque époque a apporté sa pierre à l'édifice, depuis les mathématiques les plus simples jusqu'aux plus complexes connues aujourd'hui.

Les mathématiques ne se construisent pas au hasard, mais par nécessité : un problème à résoudre amène la construction d'outils pour le traiter. Les sources de problèmes sont infinies :

cadastre ;

mesure des longueurs, des surfaces ;

sofa de Conway ;

comportement des populations ;

coloriage de cartes...

Mais évidement, les mathématiques elles-mêmes fournissent des problèmes :

théorie des nombres ;

théorie des groupes ;

topologie ;

géométries non euclidiennes...

Les outils disponibles sont vite utilisés pour résoudre de nouveaux problèmes en astronomie ! On observe des aller et retour incessants entre les maths et les autres disciplines pourvoyeuses de problèmes, astronomie en particulier : la mécanique céleste par exemple a fait faire de grands progrès à l'analyse.

Les recherches en cours utilisent des théories mêlant la topologie et les géométries dans des espaces à n dimensions.

L'arithmétique élémentaire

L'arithmétique élémentaire commence par le simple calcul, dont le nom trahit l'origine. Basée sur les entiers dits naturels, elle a évolué par l'introduction du 0 venant des Indes, puis par la découverte des nombres relatifs, rationnels, enfin réels.

Elle combine ces nombres par des opérations ayant une interprétation directe dans la pratique quotidienne : addition, soustraction, puis multiplication, division, enfin puissances.

Les congruences, première forme de relation d'équivalence, ont donné de belles démonstrations. Leur évolution a débouché sur la théorie des anneaux modulaires.

Révolution synodique

La révolution synodique est le temps au bout duquel le mouvement apparent d'une planète se reproduit. C'est donc une conséquence des deux mouvements de la Terre et de la planète.

Nommons T et T' les périodes de révolution de la Terre et de la planète par rapport aux étoiles (révolution sidérale). Par unité de temps, la Terre parcours 360° / T, et la planète en parcours 360° / T'.

La différence est le mouvement apparent : 360° / T - 360° / T'

Ce mouvement est périodique, de période q. Donc par unité de temps, il évolue de 360° / q, et

360° / q = 360° / T - 360° / T'

ou encore :

1 / q = 1 / T - 1 / T'

Exemple : prenons le cas de Mars

T = 365 j T' = 1 an 321 j = 686 j

1 / q = 1 / T - 1 / T' = 1 / 365 - 1 / 686 = 0,0027397 - 0,0014577 = 0,0012820

q = 780 jours, soit deux ans et 50 jours. C'est le temps qui s'écoule entre deux oppositions successives de Mars, et donc l'intervalle entre deux fenêtres de tir vers la planète.

Cycle de Méton

La Lune a eu une très grande importance dans la vie courante, tans qu'on n'a pas disposé d'éclairage artificiel. De plus, elle marquait le rythme du temps plus aisément que les insaisissables saisons... Le cycle de Méton (IVème siècle avant JC) a permi la prévision des éclipses.

Un cycle est une période raisonnable de k années contenant un nombre entier de mois lunaires.

Considérons une année solaire de 365,25 jours, et un mois lunaire de 29,53 jours : ces valeurs sont à peu près ce qu'on pouvait connaître à l'époque de Méton. Elles doivent vérifier :

365,25 k ~ 29,53 p avec k et p entiers

Divisant tout par 29,53 on obtient : p ~ 365,25 / 29,53 = 12,3688 k

Donc p ~ 12,3688 k = (12 + 0,3688) k = 12 k + 0,3688 k

p et 12 k sont des entiers ; donc 0,3688 k doit l'être aussi. Il suffit de rechercher les multiples entiers de 0,3688. On construit le tableau des multiples :

k = 8 donne 2,950 qui est approchée d'un entier à 5 centièmes près ; il lui correspond p = 12,3688 x 8 = 98,950, donc p = 99. C'est une période de 8 ans comptant 99 mois ; on retrouve l'octaétéride des Grecs : période de 8 années (mois de 29 et 30 j alternés), les années 3, 5 et 8 comportant un mois supplémentaire de 30 j. Ceci donne une année moyenne de 365,25 jours. Cette durée semble connue depuis -775.

Le multiple 11 donne une approximation légèrement meilleure (43 millièmes) k = 11, p = 136. Le gain par rapport à l'octaétéride est très faible, et ne justifie pas vraiment l'allongement de la période de 8 à 11 ans. Le système n'a pas été employé.

Enfin, le multiple 19 donne une valeur entière approchée à 7 millièmes près ! C'est cette valeur qui a été trouvée par Méton, et qui est à la base du cycle portant son nom.

Par ces techniques, Hipparque a obtenu une lunaison moyenne de 29,5305851 j (29 jours 12 h 44 min 2 s), ce qui correspond à moins d'une seconde d'erreur !! Ceci vers 130 avant J.C.... Et malgré les fortes variations de la lunaison vraie par rapport à la lunaison moyenne.

Etablissement d'un calendrier

Restant dans le domaine de l'arithmétique et du calendrier, nous allons mettre en évidence une méthode de calcul assez puissante.

Mettons l'année tropique de 365,2422 jours, sous la forme 365 + a/b avec a et b entiers bien sûr. Nous saurons immédiatement qu'il faut ajouter a jours dans une période de b années. Par exemple, 365 + 7/29 signifie qu'il faut rajouter 7/29ème de jour par an, ou bien 7 jours en 29 ans.

On va chercher des aproximations.

1) a = 0 année de 365 jours, utilisée par de nombreux calendriers anciens ;

2) fixons a = 1. On cherche à résoudre 365,2422 = 365 + 1/b. Il vient b = 1 / (365,2422 - 365) = 4,12882

365,2422 = 365 + 1 / 4,12882

Il faudrait ajouter 1 jour tous les 4,12882 ans ; ce n'est pas très pratique ! On prend alors seulement b = 4. Le résultat est une année de 

On ajoute un jour tous les 4 ans : c'est l'année julienne.

3) On applique le même procédé au nombre qu'on vient d'approcher : 4,12882 = 4 + 1/b1

on obtient b1 = 7,76282, d'où année = 365 + 1 / (4 + 1 / 7,76282)

on conserve la seule partie entière :

365,2422 = 365,24138 jours; l'erreur n'est que de 1 min 11 s.

4) 7,76282 = 7 + 1/b2 d'où b2 = 1,3109

C'est la solution adoptée par le calendrier persan !

L'erreur n'est que de 0,2424242424 - 0,2422 = 00,000224 j

ce qui correspond à 19 secondes...

On reconnaît dans cette méthode le développement en fractions continues.

La colonne validité indique le nombre d'années au bout duquel les erreurs cumulées atteignent un jour entier.

Il existe une solution évidente à ce problème : 0,2422 = 2422/10000

On peut remarquer que la solution parfaite est une simplification de cette fraction...

Année grégorienne

Le rapprochement direct de l'année tropique 365,2422 j et de l'année julienne de 365,25 j permet de retrouver la réforme grégorienne (en ce qui concerne le calendrier solaire).

L'erreur est 365,25 j - 365,2422 j = 0,0078 j par an.

En un siècle, l'erreur est de 0,78 j. Ceci est très proche de 0,75 j = 3/4 j. Donc en 4 siècles, l'erreur est de 3 jours.

L'année julienne comporte donc 3 jours de trop en 4 siècles. La réforme grégorienne a fixé des règles simples pour les supprimer :

Les années séculaires ne sont bissextiles que si leur millésime est divisible par 400

Les autres suivent la règle julienne (millésime divisible par 4)

4 siècles juliens comportent 400 x 365,25 j = 146.100 j. 4 siècles grégoriens en comportent donc 146.100 - 3 = 146.097.

La durée moyenne de l'année grégorienne est donc de 146.097 / 400 = 365,2425 j.

L'erreur par rapport à l'année tropique est de 0,2425 - 0,2422 = 0,0003 j

qui correspond à 26 secondes par an.

Ce calcul très simple n'est possible que parce que nous connaissons la durée précise de l'année tropique. Historiquement, les choses se sont passées dans l'ordre inverse : c'est l'observation des erreurs du calendrier qui a précisé la durée de l'année tropique.

La géométrie élémentaire

La géométrie, comme le calcul, doit son nom à des considération très pratiques, on peut dire à ras de Terre...

La crue du Nil, chaque année, effacait les limites des propriétés. Il fallait donc les retracer, et les Egyptiens, forcés par la nécessité, ont developpé des méthodes pour s'y retrouver.

L'art de la géométrie a été poussé très loin par les grecs, et les usages de cette technique se sont multipliés. Euclide a achevé l'œuvre en définissant les axiomes de La géométrie. La seule, celle qui décrit le monde...

Mesure du rayon de la Terre

Cette mesure a été imaginée et réalisée par Eratosthène.

Le jour du solstice d'été, le fond d'un puits à Syène est illuminé par le Soleil à midi. Eratosthène en déduisit que le Soleil était exactement à la verticale de Syèe.

Le même jour, il mesura l'angle fait par l'ombre d'un obélisque à Alexandrie. Cet angle est égal à la différence de latitude entre les deux villes, parce qu'elles se trouvent à peu près sur le même méridien.

Connaissant par ailleurs la distance entre les deux villes (mesurée par le pas des chameaux), une règle de trois donne la circonférence de la Terre :

Eratosthène a trouvé 252.000 stades. On ne connaît pas bien la valeur du stade, car il y en avait plusieurs ! Mais le plus probable valait à peu près 157 mètres, ce qui donne 39.564.000 m ou 39.564 km.

Distance de la Lune

Cette méthode est attribuée à Aristarque de Samos.

On suppose que le Soleil est très loin, et que l'ombre de la Terre est cylindrique. Au niveau de la Lune, elle a donc le même diamètre que la Terre.

Le temps écoulé entre le début de l'entrée dans l'ombre et le début de la totalité est proportionnel au diamètre de la lune. Le temps passé par la lune dans l'ombre de la Terre est proportionnel au diamètre de la Terre.

Donc, le rapport t1/t2 est égal au rapport d/D.

Ce rapport est proche de 4.

La Lune est donc quatre fois plus petite que la Terre : d = D / 4.

De là, on peut déduire la distance de la Terre à la Lune. En effet, on mesure un diamètre apparent de la Lune de 30', alors que son diamètre réel est D / 4.

On construit un triangle rectangle d'angle au sommet égal à 30'. On mesure a et b ses côtés.

Ce triangle est semblable au triangle formé par l'observateur et la Lune.

Alors, TL / d = b / a

TL = d b / a

Soit R le rayon de la Terre : R = 2 d

TL = R b / 2 a

Les premières estimations étaient TL = 80 R., mais du temps de Ptolémée, le rapport était ramené à 60 R, ce qui est une excellente valeur.

La trigonométrie

La trigonométrie repose sur la similitude des triangles. Deux triangles semblables ont des dimensions différentes, mais les mêmes proportions. Ces proportions caractériseront donc tous les triangles d'une mâme classe. Elles constituent les rapports trigonométriques.

D'abord tabulés, ces rapports ont été étudiés mathématiquement, des relations ont été découvertes, puis une nouvelles définition, plus abstraite mais équivalente, en a été donnée.

Calcul de la distance de Vénus au Soleil

Le calcul est basé sur une configuration géométrique très simple, et sur des observations à la portée de tous. Une montre suffit pour déterminer les éléments du calcul.

Principe

Vénus est une planète intérieure, plus proche du Soleil que la Terre. A certaines époques, Vénus est la plus loin possible du Soleil, vue de la Terre. Alors, le triangle que forment les trois astres est rectangle au sommet Vénus, car la ligne de vision est tangente à l'orbite.

On peut alors écrire dans ce triangle rectangle : VS = TS sin a

On peut mesurer a très facilement : c'est la distance angulaire de Vénus au Soleil vue de la Terre. Pour cela, on va supposer que le mouvement de la planète est négligeable sur une durée de quelques heures. Supposons que Vénus soit visible le soir (si c'est le matin, il faut inverser les manips). On observe le coucher de Soleil, et l'on note l'heure où son centre passe l'horizon. On attend que Vénus se couche à son tour, et l'on note l'heure. La différence entre les deux instants donne l'écart entre les deux planètes, en fonction de la rotation terrestre. La Terre faisant un tour sur elle-même en 24 heures, une règle de trois nous donne l'angle entre Vénus et le Soleil.

On fait cette observation plusieurs jours de suite, de façon à obtenir l'angle maximum entre les deux astres. Cet angle correspond au triangle rectangle. On trouve une valeur proche de 45deg.. Son sinus vaut donc 0,707.

On ne connaît pas les deux côtés du triangle, mais on vient de déterminer que VS = 0,707 TS.

Dans ces conditions, si on prend TS pour unité, on a VS = 0,707.

C'est ce qu'ont fait les astronomes, et c'est l'origine de l'unité astronomique.

Il est beaucoup plus difficile de rattacher l'unité astronomique, c'est-à-dire les distances entre les corps du système solaire, avec les mesures de distance terrestres, c'est-à-dire en km. Il a fallu l'observation d'un passage de Mercure devant le Soleil, mesuré de deux endroits éloignés de la Terre, pour résoudre ce problème pour la première fois. Une plus grande précision est obtenue avec les passages de Vénus, mais ils sont beaucoup plus rares.

Maintenant, les distances entre les planètes sont mesurées beaucoup plus précisément par radar.

La trigonométrie sphérique

Sert pour calculer les positions sur la Terre, et les distances entre deux points. Indispensable pour déterminer précisément les passages de Vénus...

Géométrie + trigonométrie

Mouvement elliptique

S représente une surface ; par exemple S (OSP') représente la surface du triangle OSP'.

L'angle u (nommé anomalie excentrique) étant l'angle entre les axes OA et OP' :

Soit s la surface de l'ellipse :

Il vient enfin :

C'est l'équation de Kepler.

Pour déterminer la position d'une planète sur son orbite à un instant t, il faut tout d'abord résoudre l'équation de Kepler. La position de la planète est vraiment définie par son anomalie vraie, angle v fait par les axes OA et OP. Il existe une relation simple entre u et v.

Algèbre

L'algèbre est une invention arabe. Encore une fois, le nom trahit l'origine.

L'algèbre est une abstraction de la représentation des nombres, et par suite de leurs relations. La présentation très formelle et concise que nous utilisons aujourd'hui est assez récente, et les traités du XVIIème siècle sont particulièrement difficiles à lire.

Le formalisme n'est pas un luxe pédant, il permet de visualiser en un coup d'Sil des propriétés que les notations anciennes traduisaient péniblement avec des mots.

Résolution de l'équation de Kepler

u - e sin u = M

On utilise une méthode d'approximations successives. Si u était petit, on aurait sin u ~ u et donc on utilise cette approximation :

u - e u = M => u (1 - e) = M et u0 = M / (1 - e)

On utilise cette valeur pour calculer une meilleur approximation : sin u = sin u0

u1 = e sin u0 + M

Et plus généralement, on calcule la suite un = e sin un-1 + M

jusqu'à ce que |un - un-1| < e

La dernière valeur calculée de u est la solution de l'équation de Kepler à e près.

C'est une méthode de point fixe, car on a trouvé une valeur telle que u = f(u)

avec f(u) = e sin u + M

L'analyse mathématique

Les idées de base viennent de l'antiquité et du Moyen-Age, avec :

La rigueur d'exposé qu'avait pratiquée Archimède, maintenue par ses successeurs, a stérilisé longtemps la progression. C'est Simon Stevin en 1586 qui a osé faire œuvre plus intuitive, et par là plus assimilable, suivi par Cavalieri.

La notion de fonction remonte seulement au XVIIème siècle. Euler et Lagrange sont parmi les mathématiciens qui ont fait avancer ce domaine.

Newton et Leibniz ont fondé le calcul différentiel et intégral moderne.

La mécanique céleste est basée sur l'analyse mathématique : calcul différentiel et intégral.

Raies spectrales

L'observation au laboratoire des raies d'émission de l'hydrogène a déterminé un ensemble de couleurs bien précis caractérisant ce gaz. On remarque que l'écartement de deux raies diminue vers les courtes longueurs d'onde. La difficulté était de comprendre le mécanisme qui les produit.

Niels Bhor a imaginé le modèle planétaire de l'atome d'hydrogène, et supposé que l'électron périphérique ne pouvait occuper que des orbites bien définies. L'émission d'un photon était le résultat d'une transition de l'électron entre deux orbites.

En numérotant les orbites, il a obtenu les longueurs d'onde sous la forme d'une suite tm,n dépendant de deux paramètres m et n :

La constante R, constante de Rydberg, est liée à l'énergie du niveau fondamental de l'atom d'hydrogène.

Si on fixe la valeur de n, on obtient une suite de raies qui constitue ce qu'on appelle en optique une série. Pour l'atome d'hydrogène, il existe de nombreuses séries, mais une seule se trouve dans le visible, c'est la série de Balmer, caractérisée par n = 2 :

On voit que ce terme tm,2 tend vers une limite de 0,25 lorsque m tend vers l'infini. Les raies correspondantes se déduisant de ce terme constituent une série dont les espacements sont de plus en plus faibles, jusqu'à ce qu'elles ne soient plus discernables.

On peut maintenant calculer les longueurs d'onde des différentes raies de Balmer :

Ce calcul montre que les deux premières raies sont éloignées (0,6565 - 0,4860 = 0,1705 mm entre Ha et Hb), les deux suivantes un peu moins (0,4860 - 0,4334 = 0,0526 mm entre Hb et Hg), et ensuite les raies se rapprochent tellement vite, que le spectroscope ne pourra même plus les distinguer. La valeur t = 0,25 correspond à ce que l'on appelle la limite de Balmer ; la longueur d'onde précise de la limite de Balmer est l = 0,364771 mm.

Calcul différentiel et intégral

Equilibre d'une étoile

L'équilibre hydrostatique d'une étoile se décrit très facilement : en tout point, le poids des couches au-dessus équilibre la pression du centre. Leur somme est donc nulle :

La masse volumique moyenne est par définition :

Si on suppose r constante sur tout le volume de l'étoile, r = r0

on a :

En reportant les expressions de la densité et de la masse dans celle de la pression, et en intégrant, on obtient :

Cette expression nous donne une approximation de la pression centrale, en faisant r = 0 :

Equations différentielles

On en trouve dans toutes les parties de l'astronomie, tout particulièrement en mécanique céleste.

Le problème des 2 corps (2 corps massifs soumis à la gravité uniquement) est entièrement résolu analytiquement. Mais à partir de 3 corps, il n'existe plus de solution analytique des équations différentielles du mouvement.

Une technique de linéarisation du problème a été développée, mais il n'est pas possible de ramener les solutions dans l'espace habituel.

Les astronomes ont développé deux sortes de méthodes :

les perturbations générales, dans lesquelles on utilise des développements en séries des fonctions définissant le mouvement. Il est possible de faire des approximations qui donnent une solution valable à une époque déterminée dans le passé ou le futur ;

les perturbations spéciales, qui consistent un une intégration numérique des équations du mouvement. Là encore, la durée de validité s'ajuste par le pas d'intégration en particulier.

La théorie de la Lune, achevée vers 1930 (avec des perfectionnements ultérieurs) est basée sur les perturbations générales.

Dans certains cas particuliers, les équations admettent des solutions. Par exemple si on considère le Soleil, une planète et un troisième corps de masse négligeable. Si on place ce corps sur la même orbite que la planète, à 120° devant ou derrière elle, on constate qu'il y reste. De tels objets existent dans le système solaire, les premiers découverts sont des astéroïdes partageant l'orbite de Jupiter, qui ont été baptisés avec des noms de héros de la guerre de Troie. on les appelle donc des Troyens. Récemment, on a découvert des troyens de Mars.

Les probabilités et les statistiques

Probabilités et statistiques sont présentes dans la Mécanique Qunatique et donc indirectment en astrophysique. Mais les statistiques ont aussi un usage direct très important. Quand un phénomène nouveau est découvert, il est assez habituel de l'étudier statistiquement pour cerner les traits essentiels, avant d'envisager d'en faire une théorie.

L'étude de notre Voie Lactée est difficile parce que nous sommes plongés à l'intérieur, et n'en avons qu'une vision partielle et déformée par la perspective. Une méthode d'analyse statistique des mouvements des étoiles proches a montré que certains ensembles (les courants d'étoiles) possédaient un mouvement d'ensemble régulier, auquel s'ajoutait un bruit statistique de mouvements propres. Le mouvement d'ensemble nous renseigne sur la géométrie de la Galaxie.

On a défini par ces mêmes méthode le LSR (Local Standard of Rest, référentiel local de repos), système de coordonnées dans lequel le Soleil est au repos. Grâce à l'analyse statistique, il a pu être rattaché à un système extérieur plus stable.

Les géométries non-euclidiennes

Les postulats d'Euclide

entre deux points passe une droite

tout segment de droite peut être prolongé indéfiniment dans les deux directions

étant donné un point et une droite, il est toujours possible de tracer un cercle ayant le point pour centre, et l'intervalle pour rayon

tous les angles droits sont égaux entre eux

étant donné une droite et un point extérieur à cette droite, il existe une droite et une seule passant par ce point et parallèle à la première

Le cinquième postulat, moins évident que les autres, a donné lieu à d'innombrables tentatives de démonstration au cours des siècles. Sans succès. Mais il a fallu attendre Rieman et Lobatchevski pour qu'apparaissent de nouvelles géométries, dans lesquelles le cinquième postulat était faux :

géométrie riemanniene, ou elliptique, aucune parallèle n'existe

géométrie lobatchevskienne, ou hyperbolique, il exite une infinité de parallèles

Il existe des tests possibles, mais ils n'ont pas été réalisés à ce jour.

Lobatchevski a pensé que sa géométrie pouvait avoir des applications pratiques, et il a cherché lui-même à vérifier la somme des angles d'un triangle. Mais les erreurs de mesure sont plus grandes que l'effet à mesurer.

La simulation informatique

Les méthodes de simulation informatique sont en train de prendre une importance considérable en astronomie, qui est une science a priori uniquement observationnelle. Elles permettent de faire des expériences sur des modèles mathématiques.

Des modèles de l'atmosphère terrestre ont été développés, et servent quotidiennement pour les prévisions météorologiques. On commence à définir et utiliser de semblables modèles pour représenter les atmosphères des autres planètes. A ce titre, Jupiter présente un grand intérêt avec la persistence depuis 4 siècles d'un gigantesque cyclone (la Grande Tache Rouge).

Bien d'autres domaines sont abordés par la simulation, et le plus spectaculaire est sans doute l'étude des collisions de galaxies. Une telle collision dure plusieurs millions d'années, et son observation est strictement impossible. Seule la modélisation est à même de nous indiquer comment interagissent des millions, voire des milliards d'étoiles lors d'une tel choc. Les images construites par les modèles ressemblent étonnement aux photos que l'on obtient de certaines galaxies.

Pour illustrer simplement ces méthodes, voici une animation qui explique les galaxies spirales filamenteuses, ou stochastiques. Elles ne présentent pas de bras spiraux continus commes les normales, mais seulement des fragments de bras qui leur donnent un aspect spiral global. La rotation différentielle (plus rapide près du centre qu'à l'extérieur, résultat des lois de Kepler) provoque l'effilochement d'un amas d'étoiles de forme initial plus ou moins sphérique. Les étoiles de l'amas les plus proches du centre étant pus rapide, cet amas prend la forme d'un arc de spirale.

[animation java manquante]

Théorie des ondes

Héliosismologie

Les tremblements de Terre nous ont appris la structure interne de notre planète. De la même manière, des vibrations se produisent à la surface des étoiles, selon des fréquences diverses. Leur étude permet de mesurer la pression et l'état physique de la matière à des profondeurs diverses dans la masse de l'étoile. On peut ainsi confirmer, infirmer ou préciser les modèles d'intérieur stellaire.

Optique

Les mathématiques ont infiltré l'optique astronomique dans presque tous ses domaines.

pilotage des instruments, permettant le remplacement les lourdes montures équatoriales par des montures altazimutales beaucoup plus faciles à construire mécaniquement ;

maintient de la forme des miroirs souples, permettant de réaliser de très grands instruments (optique active) ;

correction de la trubulence atmosphérique, donnant au sol (dans les meilleurs sites du monde) des images aussi bonnes que celles obtenues dans l'espace ;

correction des défauts optiques du HST, dont le miroir principal avait été mal calculé ;

interférométrie des tavelures ;

synthèse d'ouverture, méthode consistant à associer plusieurs instruments éloignés, pour donner l'équivalent d'un très grand instrument. Mise en Suvre en radioastronomie dès les années 60, elle est utilisée en optique depuis peu de temps. Le VLT sera pendant quelques années ou décennies le plus puissant télescope au monde.

Les méthodes indiquées ci-dessus sont basées sur des modèles mathématiques. Mais il n'y a pas UN problème à résoudre, mais des dizaines, ou des centaines de problèmes de même nature par seconde. L'ordinateur se charge de trouver les solutions contenues dans les modèles, pour réaliser les prouesses correspondantes.

Compression d'images

Les sondes spatiales nous envoient des images depuis les planètes qu'elles étudient. Une image numérique de bonne qualité représente un important volume de données à transmettre, tous les internautes le savent !

Mélant mathématique et informatique, ces techniques sont fort utiles pour permettre une transmission d'images au coût minimum : le débit d'information est lié à la puissance des émetteurs, laquelle est directement fonction du poids... Toute diminution du volume à transmettre se traduit donc en une très forte économie sur le lancement de la sonde.

Le format jpeg par exemple autorise une compression variable, avec perte plus ou moins importante d'information. Un facteur de compression de 10 donne une image différente de l'original, mais indiscernable à l'œil. Pour des vignettes, on peut aller jusqu'à un rapport de compression de 100.

Bien sûr, une image fournie par une sonde spatiale doit être correctement transmise sur Terre. Aussi le taux de compression doit être moindre. Néanmoins, des algorithemes de compression sans aucun perte de qualité existent, et diminuent au moins par 2 le volume de données à transmettre.

Autres domaines

Espaces topologiques de dimension élevée.

Espaces métriques, de Hilbert, préhilbertiens...

Toutes les constructions très abstraites...

Qu'est-ce qui ne sert pas ?

En astronomie, est utile tout ce qui permet de représenter l'Univers dans l'instant et dans la durée.

Quelques domaines n'ont pas trouvé d'appication à ce jour :

la logique mathématique... mais elle pourrait bien faire son entrée un jour ou l'autre sous la forme de programmes intelligents, dérivés des systèmes experts des années 80 ;

la théorie des ensembles ;

la théorie des nombres ;

la théorie des graphes...

Pourquoi les mathématiques sont-elles si bien adaptées ?

Le corps des nombres réels se prête bien à la représentation du temps de la physique classique :

• la continuité correspond à l'écoulement régulier du temps ;
• la structure totalement ordonnée de R traduit bien la relation de causalité.

Les réels représentent bien tout phénomène continu. Bien sûr, la continuité n'est réalisée qu'à l'échelle macroscopique. Dès qu'on a considéré des phénomènes dans le domaine atomique, on a rencontré des difficultés qui ont forcé à abandonner la physique classique au profit d'une théorie où règnent les probabilités.

Les propriétés globales de l'espace se traduisent par des notions mathématiques :

• l'isotropie correspond à l'invariance par rotation :
• l'homogénéité correspond à une invariance par translation d'espace ;
• l'uniformité du temps à une invariance par translation de temps.

La dérivation et l'intégration prennent en compte les variations, et la somme d'éléments infinitésimaux.

Pourquoi les mathématiques sont-elles si bien adaptées ?

Il n'y a rien d'étonnant à cela :

Elles ont été contruites pour résoudre ce genre de problème...

Conclusion

Astronomie, science de l'Univers, science universelle...

astronomie = toutes les sciences de la nature

Peu de domaines des mathématiques échappent à l'utilisation par les astronomes.

Progression conjointe

...des maths, de la physique, de l'astronomie : physique des neutrinos.

Kepler a assimilés les orbites des planètes à la seule courbe fermée connue à son époque : l'ellipse.

Les théories les plus éloignées de la pratique ont toujours trouvé, un jour ou l'autre, une application.

Que sont les mathématiques élémentaires ?

En quoi sont-elles élémentaires ?

Peut-être en ce qu'elles s'apprennent facilement ...

Mais cette notion est parfaitement subjective...

Aujourd'hui plus qu'hier, et bien moins que demain...

Un exemple, les bases de numération ont été enseignées en :

Mathématiques supérieures en 1965  - CE1 en 1975

De supérieure, cette discipline est devenue élémentaire.

Plutôt que la matière elle-même,

c'est l'angle sous lequel on la considère qui a profondément changé

La théorie des groupes a été enseignée au CE1 dans la même période...

La notion de mathématiques élémentaires est relative au but de l'enseignement proposé.

L'ouverture au monde

L'apport des média a eu un rôle primordial.

On ne peut plus enseigner les mêmes choses de la même manière.

La Relativité fait moins peur que dans les années 50. A quel niveau l'enseignera-t-on dans 50 ans ?

Les maths sont un outil très utile, il est indispensable d'en doter les élèves.

Il reste à trouver des astuces pédagogiques pour la faire assimiler, au moins sous cet aspect utilitaire. 

 A voir !

Bibliographie